Уроки программирования

Перед тем, как приступить к описанию программирования, вначале ознакомимся с системами счисления и затем приступим непосредственно к его изучению. Описание систем счисления поможет представлять, как числа хранятся в памяти компьютера, какой размер памяти они занимают, и как следствие освоить программирование.

Системы счисления

УРОК 1. Введение. Основные понятия

В данной главе мы будем рассматривать различные системы счисления, которые применяются при работе с компьютерами. Как правило, это двоичная и шестнадцатеричная системы счисления. Естественно, что рассматриваться они будут на основе десятичной системы, которая широко применяется в быту человека.

В истории человечества на протяжении веков используется десятичная система. Историки считают, что данная система появилась из-за наличия у человека десяти пальцев, при помощи который производился подсчет.

Могут существовать и другие системы счисления, основанные на любом числе, например, двенадцатеричная система или шестидесятиречная. Двенадцатеричная система вероятно даже более удобная, так как число двенадцать имеет несколько делителей: два, три, четыре, шесть, что может существенно облегчить расчеты. Однако, в настоящее время эти системы на практике не применяются.

Что такое система счисления? Система счисления – это способ записи чисел. Привычная нам система основана на десяти цифрах от 0 до 9. Число на единицу большее девяти представляется уже двумя цифрами: 10, затем 11 и так далее до 99, потом тремя: 100 и так далее. Эта система называется позиционная, при которой каждая цифра имеет свою величину в зависимости от ее расположения.

Ранее существовала непозиционная система, примером которого является римская система, однако, привнесение в Европу арабских цифр, которыми мы до сих пор пользуемся, дала возможность упростить расчеты и заняла лидирующую роль в нашей жизни. Римские цифры до сих пор используются в повседневной жизни для обозначения номеров глав, разделов, приложений в книгах. Однако, в расчетах они не участвуют.

Другим примером непозиционной системы является запись палочками, которые использовал, например, граф Монте-Кристо для подсчета дней пребывания в тюрьме. Достоинством данной системы является меньшее количество ошибок при записи пройденных дней, недостатком – большое количество палочек, которые следует пересчитывать для того, чтобы узнать значение числа. Для того, чтобы легче было в дальнейшем производить подсчет, проще их объединять в группы, например, по пять. При этом вначале пишутся четыре палочки, а пятая их перечеркивает.

Данная система до сих пор может применяться в быту при учете полученного груза (например, мешков). Она же использовалась и у первобытного человека в его повседневной жизни.

Какими системы счисления использовались в истории человечества? Как уже было написано, что самой первой системой была палочная, которая появилась в первобытном обществе.

В древнем Египте использовалась десятичная система, при которой для обозначения единиц использовался свой знак, для десятков свой и так далее. Для написания числа 123 использовался один знак сотен, два знака десятков и три знака единиц.

В древнем Вавилоне применялась шестидесятеричная система.

В Римской империи за основу исчисления была взята десятичная система, для цифр которой использовался алфавит, в которой знак I – обозначает единицы, знак V- пять, X – десять, L –пятьдесят, C – сто, D – пятьсот, M – тысяча. Приведем первые двенадцать чисел: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII и так далее. Другие основные числа: XX –20, XXX – 30, XL – 40, L – 50, LX – 60, LXX – 70, LXXX- 80, XC – 90, C – 100, CC – 200, CCC – 300, CD – 400, D – 500, DC – 600, DCC – 700, DCCC – 800, СM –9000, М – 1000, МС – 1100, МСС – 1200, МССС – 1300, МСD – 1400, MD – 1500, MDC – 1600, MDCC – 1700, MDCCC – 1800, MCM – 1900, MM – 2000.

Число 1996 будет записано как MCMXCVI, где МСМ – обозначает 1900, ХС – 90, VI – шесть. Разобравшись с данным примером, по аналогии можно легко перевести и другие римские числа в привычную нам десятичную систему.

Довольно часто, в том числе и на Древней Руси, существовали системы, в которых вместо цифр использовались буквы алфавита. Причем для того, чтобы отличить цифры от букв, над ними ставился специальный значок. В силу этого для каждого слова можно подсчитать его цифровое значение и соотнести с другими словами, имеющими такое же значение. В результате возникла даже целая наука – каббала, которая занимается этими проблемами.

Современная система счисления использует арабские цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Этой системой пользовались арабские торговцы, которые активно торговали с Европой и откуда она была заимствована. Всеми историками признается, что цифра ноль впервые появилась в Индии.

Основные понятия систем счисления. Основанием системы счисления является количество цифр, используемых для единиц, десятков и пр. Так, в десятичной системе счисления используется десять цифр, в шестидесятиричной системе используется шестьдесят цифр и так далее.

Данные системы являются стандартными. Существуют и нестандартные системы счисления, например, система Фибоначчи, однако, они не будут рассматриваться в данной книге.

Рассмотрим представление чисел в десятичной системе счисления.

Число 1234 можно представить как 1х10³ + 2 х 10² + 3 х 10¹ + 4 х 10⁰ = 1х1000 + 2х100 + 3х10 + 4х1 = 1234. Дробная часть числа может быть представлена как 0,1234 = 1х10^-1 + 2 х 10^-2 + 3 х 10^-3 + 4 х 10^-4. Приведем еще один пример: 123,456 = 1 х 10² + 2 х 10¹ + 3 х 10⁰ + 4х10^-1 + 5 х 10^-2 + 6 х 10^-3.

В общем виде число «а» может быть представлено в виде а_nа_n-1 …а₁ а₀ b_-1 b_-2 … b_-(m-1) b_-m, где а – цифры целой части до запятой, а b – цифры дробной части после запятой. Количество цифр до запятой равно n, а после запятой – m. Данное число равно

а_nа_n-1 …а₁ а₀ b_-1 b_-2 … b_m-1 b_{m =} а_nх10ⁿ + а_n-1х10^n-1 + … + а₁х10¹ + а₀х10⁰ + b_-1х10^-1 + b_-2х10^-2 + b_m-1х10^-(m-1) + b_mх10^-m

Как правило, число не должно иметь лидирующих нулей, а дробная часть может содержать бесконечное число членов, например, число 0,33333… или одна третья может иметь бесконечное число цифр в дробной части. Поэтому значение одной трети либо округляется, например, 0,3333, либо записывается с периодом, например, 0,3(3), где число в скобках обозначает, что цифры в скобках бесконечно повторяются. Что такое лидирующий ноль? Число 123 можно представить и как 0123 и как 00123 и так далее. Ясно, что это одно и тоже число и чтобы не писать лишних цифр, нули, которые находятся вначале числа до первого не нулевого значения, обычно не указываются.

О↙О↘О↙О↘О↙О↘О↙О↘О↙О↘О↙О↘О↙О↘О↙О↘О